圖形的對稱群（symmetry group of a figure）

當有某種移動方式能把圖形恰好疊回自身時，圖形便是對稱的——把正方形轉四分之一圈，或把蝴蝶沿中線翻轉，你看不出它被動過。圖形的對稱群只是把所有這類「自我吻合」的運動收進一個集合。它是讓圖形看起來毫無改變的每個剛體運動的完整目錄，而這目錄是圖形究竟有多對稱的一份極為忠實的指紋。

精確地說，圖形 F 的對稱群是所有把 F 映到自身的等距變換之集合。此集合永遠含有什麼都不做的恆等變換（它平凡地固定 F），且封閉又可逆：若兩個運動各自保持 F，則先做一個再做另一個也保持 F、把任一個還原也保持 F——這些正是使它在合成運算下成為群的性質。對非正方形的矩形，對稱為：恆等、180 度旋轉、水平翻轉、垂直翻轉——共四個。對正方形則有八個：四個旋轉（轉 0、90、180、270 度）與四個反射（兩條過對邊中點、兩條過對角）。元素的個數是群的「階」，量度對稱的總量。

對稱群讓我們以對稱、而非大小或位置來比較與分類形狀。只有旋轉的圖形具有循環對稱群；兼有旋轉與反射的具有二面體群；一點在群作用下的軌道，是該點被送到的所有位置之集合。這是從幾何通往群論語言的橋樑，並一路放大到七種帶飾群與十七種壁紙群，它們無非就是無限重複圖樣的對稱群。