壁紙群（wallpaper group）
真實的壁紙、地板鋪磚、織物與裝飾磚砌都有一個共同特徵：它們的圖樣朝兩個獨立方向重複，像母題的無盡格網般填滿整個平面。壁紙群是這類雙週期圖樣的完整對稱群。19 世紀末證明的著名定理是：它們恰有十七種——使重複平面圖樣對稱的根本相異方式只有十七種，而地球上每張壁紙、每片磚地與每幅艾雪版畫，都實現了這十七者之一。
區分這十七種的，是圖樣在兩個平移方向之外所帶的對稱組合：它容許哪些旋轉（結晶限制只允許 2 重、3 重、4 重與 6 重轉動——重複圖樣中絕無 5 重或 7 重），它有沒有鏡線，以及它有沒有滑移反射。把每種自洽的組合清點起來，恰得十七種，不多不少。它們帶有結晶學名稱，如 p1（僅有平移，最樸素）、p4m（鏡線豐富的 4 重圖樣，如帶有全部對稱的正方形鋪磚）與 p6m（最高的六邊形對稱）。清單止於十七的證明確實深刻，由費德洛夫（Fedorov）完成、後由波利亞（Polya）等人補全。
壁紙群是幾何、藝術與結晶學交會之處。它們分類各文化的裝飾圖樣（阿爾罕布拉宮的磚飾以展示眾多十七種之一而聞名），在二維結晶學中描述重複的原子排列如何能對稱。要記住的誠實提醒：「十七種」恰是對在平坦平面中朝兩個方向以平移重複的圖樣而言。不重複的圖樣——如潘洛斯鑲嵌——不在其列，而球面或雙曲空間中的同一分類給出全然不同的家族（在雙曲情形中更有無窮多種）。
最樸素的壁紙群 p1 只有兩個平移：一個母題（比方說逗號形）被複製到格網各處，沒有任何旋轉、鏡線或滑移能把圖樣映到自身。在另一極端，對稱地裝飾的標準正方形鋪磚實現 p4m：它在磚心有 4 重旋轉、沿磚與橫磚都有鏡線，並具備正方形格網所容許的全套對稱。
每個在平面中朝兩個方向重複的圖樣，都對應恰好十七種群之一。
「十七」是一條定理，而非約定——且它依賴結晶限制，後者禁止任何重複平面圖樣具有 5 重旋轉對稱。像潘洛斯那樣的不重複鑲嵌根本不是壁紙群。