結晶限制（crystallographic restriction）
這裡有個奇妙的禁令：你能用具有 2 重、3 重、4 重或 6 重旋轉對稱的圖樣鋪地，卻永遠造不出真正重複、具 5 重對稱的圖樣，7 重、8 重或更高者亦然。在花朵與海星中如此常見的五重對稱，就是無法延展成永遠重複的壁紙。這就是結晶限制，它解釋了為何蜂巢是六邊形、晶體只呈某些形狀。
原因把旋轉與重複綁在一起。靠平移重複的圖樣具有等價點構成的規則格網（晶格）。若圖樣還有 n 重旋轉，該旋轉必須把晶格映到自身。把幾何推算出來——旋轉須在保持所有間距下把一個格點帶到另一個——便逼出 n 為 1、2、3、4 或 6。n = 5 行不通，因為對晶格施以 360/5 = 72 度的旋轉會生成比最小晶格間距還靠近的點，這是不可能的；同樣的衝突排除了一切大於 6 的 n。故只有階 1、2、3、4、6 存活——請留意 5 的顯眼缺席與 6 之後的斷層。
這條事實是壁紙群恰有十七種、而非更多的隱藏原因，也支配真實晶體：任何週期晶格的旋轉對稱都限於這同一批階。誠實又引人入勝的轉折是：此限制只適用於週期圖樣。1982 年謝克特曼（Dan Shechtman）發現準晶——其繞射具有真正 5 重對稱的真實材料——這之所以可能，正因為它們是非週期的、從不恰好重複。潘洛斯鑲嵌是其幾何模型：它們展現 5 重對稱，卻靠拒絕重複而繞過了結晶限制。
看看 5 重為何在晶格上行不通。設某週期圖樣有 5 重旋轉。取晶格中最短的平移向量，繞一個格點轉 72 度；旋轉後的副本也必須是晶格向量。但把原向量與旋轉後的向量組合，會產生一個比你起始者更短的新晶格向量——與「最短」矛盾。此矛盾證明沒有週期圖樣能有 5 重對稱。
只有 2、3、4、6 重旋轉與重複晶格相容——5 重被禁止。
此限制只在週期圖樣中禁止 5 重對稱。非週期鑲嵌（潘洛斯）與真實準晶確實展現 5 重對稱——它們靠從不恰好重複而避開此定理，並非違反它。