軌道（orbit）

站在某一點上，讓一個變換群把你帶到它所能帶到的一切地方。你可能被帶到的全部位置所成的集合，就是你的軌道。若群是繞原點的所有旋轉，而你從點 (1, 0) 出發，每個旋轉都把你送到離原點一單位的某點，合起來掃出整個單位圓——所以 (1, 0) 的軌道就是那個圓。

精確地說，對作用在空間 X 上的群 G 與一點 x，x 的軌道是當 g 遍歷整個群時所有點 g . x 所成的集合。具體想像：把群中每個變換列出來，各自施於你的起點，把所有落點蒐集起來；這個蒐集就是軌道。一個基本事實是：軌道絕不會部分重疊——兩條軌道要嘛完全相同，要嘛完全不相交——所以軌道把整個空間切成彼此分離的塊，構成一個分割。這是因為「能被帶到」是一個等價關係，全靠群律之賜（你可以原地不動、可以還原、可以串接動作）。當群能把任一點帶到任一其他點時，就只有一條軌道，即整個空間；這樣的作用稱為可遞，此時空間稱為齊性的。

軌道是一種幾何所能區分的自然「類型」。在愛爾蘭根的觀點下，兩個構形在幾何上相同，恰恰就是它們落在變換群的同一條軌道上；所以「依該幾何的相同概念來分類圖形」字面上就是列出軌道。在歐氏群作用於點對之下，一對點的軌道由它們之間的距離決定——這就是為何距離是歐氏不變量。在更大的仿射群之下，所有相異點對構成單一條軌道，所以距離不再是仿射幾何看得見的東西。