變換群（transformation group）

想想你能用哪些方式拿起一個平面圖形再放回去而不使它變形：滑動它、旋轉它、翻面。每一個這樣的動作都是一個變換——一條把平面上每個點送到新點的規則。變換群就是這類動作的一個集合，且以精確的方式自成一體：它是某一特定幾何所容許使用的變換工具箱。

要稱得上是群，這個集合必須滿足三個條件，而它們正是讓「還原與組合動作」乾淨運作的條件。第一，什麼都不做——讓每個點留在原處的恆等變換——必須在集合中。第二，集合中每個變換的反向變換也必須在集合中，使任何動作都能被還原（旋轉 30 度由旋轉 −30 度還原）。第三，先做一個變換再做另一個，所得的變換必須仍在集合中（平移之後再平移仍是平移）。第三個性質稱為對合成封閉。由於函數合成自動具有結合律，這三項檢查就足夠了。平面的剛體運動群、相似群、仿射映射群與射影變換群都是變換群，而且它們一個套著一個。

幾何之所以堅持要一個群、而非隨便一組變換，是因為群的規則正是讓「不變性質」成為合理概念的關鍵。若你能施行某變換卻無法還原它，「同一圖形」就不會是對稱關係；若把兩個容許動作組合起來可能落到工具箱之外，這關係就不具遞移性。群公理保證了「A 與 B 等價」表現得像一個真正的「相同」概念——具反身性、對稱性、遞移性——而這正是一種幾何分類圖形所需要的。