變換、等距變換、對稱與鑲嵌
等距變換（isometry）
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等距變換（isometry）一詞源自希臘字根「相等的度量」，這正是它的職責：一種平面（或空間）上的映射，把所有長度的度量完整保留。若把剛體運動看成不變形地移動形狀的實際動作，等距變換便是同一想法以對點的乾淨數學條件來表述，不必訴諸把硬紙板拿起又放下。
形式上，平面變換 T 若保持距離便是等距變換：對所有點 A、B 皆有 |T(A) T(B)| = |AB|。由這唯一要求，竟自動推出許多結果——等距變換必把直線送到直線、保持每個角、把圓映到同半徑的圓、把任何圖形帶到全等的副本。在平面上，等距變換恰為四類：平移、旋轉、反射與滑移反射，且它們的任何合成仍是這四者之一。在合成運算下它們構成一個群：先做一個等距變換再做另一個仍是等距變換，且每個等距變換皆可還原。
在日常幾何中「等距變換」與「剛體運動」常交替使用，這沒問題。某些書所作的微妙區分是：剛體運動是能在平面內以連續實際運動（滑動或轉動）達成的等距變換，而反射需要把圖形翻面——從平面中提離。故所有剛體運動都是等距變換；反射算不算「運動」是定義問題，而非數學問題。
對 y 軸的反射把 (x, y) 送到 (-x, y)。對 A(1, 2) 與 B(4, 6) 檢驗保距：原本 |AB| = sqrt((4-1)^2 + (6-2)^2) = 5。它們的像是 A'(-1, 2)、B'(-4, 6)，而 |A'B'| = sqrt((-4-(-1))^2 + (6-2)^2) = sqrt(9 + 16) = 5。度量相等——它是等距變換。
唯一條件——距離保持——便逼出角、線、圓也都被保持。
保持距離會自動保持角與面積，但反過來不成立：伸縮變換保持角與比值卻拉伸每段長度，故伸縮變換不是等距變換。
又称
另见