三反射定理（three-reflections theorem）

這裡有個驚人的節約：在所有剛性移動平面的方式中，你永遠不需要超過三次翻轉。三反射定理斷言，平面上每個等距變換都能寫成至多三次反射的合成。反射是唯一的基本動作，而平移、旋轉與滑移反射不過是依序施行的反射。鏡子是運動的原子。

看看其他運動如何由翻轉構成。先對一條線反射，再對與它平行的第二條線反射：淨效果是垂直於兩鏡、距離為兩鏡間距兩倍的平移。改對兩條相交線反射：淨效果是繞交點、角度為兩鏡夾角兩倍的旋轉。故每個直接等距變換（平移或旋轉）皆為兩次反射。相反等距變換需奇數次：單一反射是一次，滑移反射是三次（或者更省地，總能化簡為恰一次反射加上剩餘部分，絕不需第四次）。反射的次數與定向相配——偶數次保持定向，奇數次反轉定向。

此定理是平面等距變換分類背後的結構骨幹：一旦你知道反射生成一切、且兩條平行鏡造出平移、兩條相交鏡造出旋轉，四類清單幾乎自己就寫出來了。它也給出實用配方——要實現繞某點轉 theta 角的旋轉，只需取過該點、夾角為 theta/2 的任兩條線，依次對各條反射即可。「至多三次」這個上界是緊的：滑移反射確實需要三次、無法以更少完成，而任何直接運動兩次便足夠。