不變量（invariant）

圖形的某些特徵能在被搬動後倖存，某些則不能。在桌上滑動並旋轉一個三角形，它的邊長與角不變，但它的位置與朝向改變了。在容許的動作下拒絕改變的性質，就是該幾何的不變量——它們才是這種幾何真正能談論的東西。

精確地說，給定作用在空間上的一個變換群，不變量是圖形的某個量或性質，在施行群中任一變換前後取相同的值。有兩種值得分清的類型。數值不變量是變換永遠不改動的一個數：兩點間的距離在剛體運動下不變，因為剛體運動保長度。性質不變量是每個群元素都保持的「是或否」特徵：「這三點共線」能在每個射影變換下倖存，所以共線性是射影不變量。辨認不變量的訣竅正是愛爾蘭根的訣竅：一個特徵對某幾何而言是不變的，恰恰當它沿該幾何之群的軌道為常數時——同一軌道中的圖形必定共享它。一個密切相關卻不同的概念是共變量（covariant）：一個不保持固定、卻以受控且可預測的方式變換的量（三角形的形心不被仿射映射固定，但它會移到像三角形的形心）。

不變量正是愛爾蘭根綱領的核心：選擇一種幾何就是選擇你拒絕讓它改變的東西，而該幾何的定理就是其不變量之間的關係。當你擴大群時，不變量會流失——長度最先消失，接著是形狀與角，再來是平行性與比值，直到射影群之下只剩接合與交比。一個常見的失誤是以為在小群下不變的性質在較大的群下仍不變；通常並非如此。長度對仿射映射毫無意義；別把歐氏不變量帶進一個群大到無法尊重它的幾何裡。