二面體對稱（dihedral symmetry）

想想正多邊形——正三角形、正方形、正五邊形。你能以部分轉動把它旋回自身，也能越過各條鏡線把它翻回自身。當圖形的對稱兼含這兩類時——一族旋轉與一族同樣大小的反射——它便具有二面體對稱。這是平面圖形所能擁有最豐富、最均衡的有限對稱。

對具有 n 重二面體對稱的圖形，記為 D_n，恰有 2n 個對稱：n 個旋轉（繞中心轉 0、360/n、2(360/n)、… 度）與 n 個反射（越過 n 條過中心、等間距的鏡線）。正 n 邊形恰好如此，即階為 2n 的群 D_n。故正三角形有 D_3，含 6 個對稱（3 旋轉、3 反射）；正方形有 D_4，含 8 個；正六邊形有 D_6，含 12 個。對比循環對稱，記為 C_n，圖形只有 n 個旋轉、完全沒有反射——風車或卍狀母題能旋回自身卻無鏡線，故它具有 C_n 而無 D_n。二面體是旋轉加鏡射；循環是僅有旋轉。

凡形狀「規則又可翻」之處皆有二面體對稱：雪花（接近 D_6）、海星（D_5）、許多花朵、輪轂蓋，以及設計得均衡的公司標誌。誠實的微妙處在於兩族之間的關係：把 n 個反射中的兩個合成會產生一個旋轉，故反射並非獨立的附加品——它們與旋轉環環相扣，單一反射搭配單一最小旋轉便已生成全部 2n 個對稱。也請注意命名上的怪癖：有些書把同一個群寫成 D_{2n}（數元素個數而非 n 重軸），故務必查清下標數的是旋轉數還是總數。