對稱雙曲系統（symmetric hyperbolic system）

偏微分方程中某些最深刻的適定性結果，並非來自巧妙的公式，而是來自單一條乾淨的不等式：能量估計。對稱雙曲系統是一種形式，許多物理系統都能被恰好改寫成它，使這套能量方法奏效，從而保證線性初始值問題有唯一一個解，且該解對資料連續依賴。

弗里德里希斯的定義：若一階系統 A_0 U_t + sum_j A_j U_{x_j} = B U + F 的係數矩陣 A_0, A_1, ..., A_n 全為實對稱，且 A_0 為正定，則它是對稱雙曲的。魔法接著只是一行計算。把方程左乘以 U（一個內積）並對空間積分；A_j 的對稱性使空間項積分成一個邊界項，剩下的是 d/dt 的 (1/2) integral U^T A_0 U，受同一能量的常數倍所界定。葛朗沃不等式於是把能量 E(t) 界定在 E(0) 乘以 e^(Ct) 之內。這個界限就是一切：它禁止同一資料產生兩個不同的解，禁止能量在有限時間內爆破，並給出連續依賴——適定性的三根支柱。

它的重要性在於：極大範圍的物理定律——馬克士威方程、線性彈性、線性化的尤拉方程與淺水方程，以及（經對稱化後）更多系統——都是對稱雙曲的，或可藉由左乘一個合適的正定矩陣加以對稱化。這正是這些理論為何在恰當的範數下既具決定性又穩定。告誡在於：這條乾淨的估計是一個「線性」結果：對非線性系統而言它只給出時間局部的存在性，因為能量估計裡的常數本身依賴於解，並可能隨震波形成而爆破。