馬克士威方程組（Maxwell's equations）
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電、磁、無線電、光、X 光以及陽光的溫暖，全都是同一樣東西——電磁場——而四條偏微分方程描述了它的每一分。馬克士威方程組是這套規則手冊：說明電場與磁場如何由電荷與電流產生、兩者如何相互創造與餵養，以及一旦放開後它們如何以波的形式漣漪般傳開。它是十九世紀物理學的至高成就之一，也是偏微分方程主宰現代世界的完美範例。
令 E 為電場、B 為磁場。在真空中，四條方程為：div E = rho / epsilon0（高斯定律——電荷是 E 的源）；div B = 0（無磁單極——B 無源）；curl E = -B_t（法拉第定律——變化的磁場驅動電場）；以及 curl B = mu0 J + mu0 epsilon0 E_t（安培-馬克士威定律——電流與變化的電場驅動磁場）。奧妙在於交叉耦合：對法拉第定律取旋度，再代入安培定律，在真空中便導出波動方程 E_tt = c^2 Laplacian E，其中 c = 1/sqrt(mu0 epsilon0) 恰好等於光速。這一步代數運算告訴馬克士威：光就是一種電磁波。
這些方程支撐著全部的電機工程、光學、天線、光纖通訊，以及你手機裡的無線電。在靜態情形下時間導數消失，它們化為熟悉的橢圓型偏微分方程：靜電位勢滿足帕松方程（Poisson's equation）Laplacian phi = -rho / epsilon0。因此馬克士威方程組把波動方程、帕松方程與拉普拉斯方程都包含為特例——這是「一條物理定律依你問的是波、源還是穩態場而分裂為各種典範偏微分方程型別」的美麗展示。
在無電荷、無電流的區域，E 與 B 都滿足波動方程，例如 E_tt = c^2 Laplacian E。平面波解 E = E0 cos(k dot x - omega t) 需滿足 omega = c |k|：它以速度 c 傳播。這個 c 恰等於量測到的光速，正是電磁學與光學成為同一門學科的緣由。
四條偏微分方程，把波動、帕松與拉普拉斯方程都包含為特例。
簡潔的「四條方程」形式是巨觀真空版本；在介質內你還要帶上額外的場 D 與 H 及本構關係，而真正基本的形式是相對論性、規範理論式的。真空四式精確，但並非故事的全部。