一階雙曲系統（first-order hyperbolic system）
想像有好幾個量——比方說氣體的密度、動量與能量——它們一起隨流前進，並在行進中彼此影響。每個量都以自己有限的速度攜帶資訊，而整捆量構成一個一階方程組。「雙曲型」是一個術語，用來指稱「一切都確實在傳播」的情形：存在真實而相異的傳播速度，沒有瞬間的遠距作用，未來是沿著行進中的波前由過去建構出來的。
具體來說，寫 U(x, t) = (u_1, ..., u_n)，並把系統寫成 U_t + A(U) U_x = 0 的形式，其中 A 是一個 n 乘 n 的矩陣（當系統來自守恆律 U_t + f(U)_x = 0 時，A 就是通量雅可比矩陣，即 A = f'(U)）。若在某狀態 U 處，A(U) 有 n 個實的特徵值 lambda_1, ..., lambda_n，且具有一組完整的實特徵向量，則系統在該處為雙曲型。這些特徵值就是特徵速度——資訊傳播的速度——而每個特徵向量挑出一個以該速度行進的「波場」。在光滑解附近把 A 局部對角化，就把這個耦合系統化為 n 條幾乎獨立的傳輸方程，每條對應一個特徵。
為什麼非要求實特徵值與完整的特徵基底不可？因為這正是使柯西問題適定的條件：在 t = 0 給定的資料決定了解，具有有限的依賴域，並且對資料連續依賴。若 A 有複特徵值，問題就會變得像橢圓型，作為初始值問題是不適定的（試想要把拉普拉斯方程沿「時間」向前預測）。雙曲系統是波動、氣體動力學、淺水方程與真空中電磁學的數學家園——凡是訊號以有限速度傳播之處皆然。
一維波動方程 u_tt = c^2 u_xx 可化為一階系統：令 v = u_t、w = c u_x，則 v_t = c w_x、w_t = c v_x，即 U_t + A U_x = 0，其中 U = (v, w)、A = [0, -c; -c, 0]。矩陣 A 的特徵值為 +c 與 -c——這兩個特徵速度，正是左行波與右行波。
把波動方程改寫成 2 乘 2 的雙曲系統，就顯露出它的兩個有限波速。
雙曲性是矩陣 A 在某給定狀態下的性質，因此對非線性系統 A = f'(U) 而言，它可能在某些狀態成立、在其他狀態失效。系統也可能只是弱雙曲——特徵值為實但缺少某個特徵向量——這時即使速度都是實的，初始值問題仍可能失去適定性。