有限傳播速度（finite speed of propagation）

拍一下手。聲音不會瞬間抵達遠處的牆——它需要一會兒，以音速行進，站在那個距離之外的人在波抵達前什麼也聽不到。波動方程中的擾動以一個確定、有限的速度移動，而在波還來不及抵達的範圍之外，一切都毫無改變。這就是有限傳播速度，雙曲型方程的招牌脾性。

精確地說：對波動方程 u_tt = c^2 u_xx，在某點對資料做的改變，在時間 t 之後只能影響到距離 c t 以內的點。某位置的資料所能影響到的點集是它的影響域，一個以斜率 c 張開的錐；反過來，某時空點上的解只依賴於它依賴域內的初始資料，那是一個斜率 c 的向後錐。所以資訊有嚴格的速度上限 c，由方程的係數決定。最乾淨的證明是能量論證：在一個收縮的向後錐內定義能量，對時間微分，邊界項恰好在錐以速度 c 傾斜時帶有有利的符號——於是若資料在錐底為零，能量沿錐往上保持為零，迫使解在那裡為零。

這是整個 PDE 中最鮮明的對比。熱方程有「無限」速度——在任何地方改變資料，處處的溫度下一瞬間就有反應（雖然是指數般微小、卻嚴格非零的量）。波動方程有有限速度——一條乾淨的波前，其後有訊號、其前是精確的寂靜。這個二分是物理的、而非技術的：相對論要求一個有限的速度上限，這正是為什麼基本的波動型場方程是雙曲型的，而擴散的無限速度則被理解為底層隨機遊走的一種理想化。