無限傳播速度（infinite speed of propagation）
在一根無限長的冷棒的某一點放一滴熱水，然後問：遠端要多久才會感覺到什麼？對熱方程而言，令人吃驚的答案是「零」。你放下那滴水的瞬間，棒上每一點的溫度——不管多遠——都嚴格大於零。在遠處這效應小到無法想像——但它不是恰好為零。擴散沒有速度上限；它立刻碰觸一切。這就是無限傳播速度。
精確地說：熱方程從一個點（delta）源出發的解是熱核，一個正比於 e^(-x^2 / (4 k t)) 再除以 t 的某次方的高斯。對任何 t > 0，這個高斯在「每一個」x 都嚴格為正，不管 x 多大——它衰減得快得驚人，卻永遠不到零。所以一點資料的影響瞬間鋪滿整個空間。對照波動方程，它從一點出發的擾動被困在一個有限斜率 c 的錐內。熱核對每個正時刻處處為正，正是無限速度的數學陳述，而它與平滑化性質不可分割地並列：同樣那種高斯混合既平滑又擴散。
這在物理上是真的嗎？不是，而且誠實很重要：無限速度是模型的特徵、一種理想化，而非自然的特徵。它來自傅立葉定律把熱通量當成與溫度梯度瞬間成正比。熱方程是隨機遊走（布朗運動）的連續極限，而一個隨機遊走者有極小但非零的機率很快就跑得很遠——這正是那條非零的尾巴。尊重有限速度的模型（如電報方程，一種帶阻尼的波）是存在的，但帶有無限速度的樸素熱方程，在它幾乎所有被使用之處，都是一個極佳且極其有用的近似。
求解 u_t = k u_xx，初始資料是原點的一個熱點。熱核給出對每個 t > 0、每個 x 都有 u(x, t) > 0，包括一微秒後一百萬公里外的某點——小到天文數字、卻嚴格為正，絕不為零。
熱核對每個正時刻處處為正——瞬間遍及全域。
無限速度是建模的理想化、而非字面的物理——它是傅立葉定律的副作用，遠場反應在指數意義下可忽略。別把它讀成能量真的超越光速；真正符合物理的波動方程維持有限速度。