波能量守恆

一條撥動後不去管它的弦會持續鳴響——它不會自己慢下來或消退。這背後是一條守恆律：在理想無摩擦的模型中，波的總能量在所有時刻保持確切不變。沒有東西被創造，沒有東西流失；能量只是在兩種形式之間來回晃盪。

對振動的弦，時刻 t 的總能量是 E(t) = (1/2) 乘上 [(u_t)^2 + c^2 (u_x)^2] 在整條弦上的積分。第一項 (u_t)^2 是動能——每一小段弦移動得多快。第二項 c^2 (u_x)^2 是儲存在拉伸中的位能——弦彎得多陡。論斷是 E(t) 不隨時間改變：dE/dt = 0。你用一個漂亮的短計算來證明它——把波動方程乘以 u_t，在整條弦上積分，再分部積分；波動方程 u_tt = c^2 u_xx 讓每一項成對相消，留下 E 的時間導數等於零（在固定端或自由端，使能量不從邊界漏出）。當波振盪時，能量在動能（弦平直且快速時）與位能（弦彎曲且瞬間靜止時）之間來回交換，但總和保持固定。

能量守恆遠不只是記帳——它是偏微分方程理論中最強大的證明工具之一，即「能量法」。它立刻給出唯一性：若兩個解有相同的初始資料，它們的差以零能量開始，必須永遠保持零能量，因此必須保持為零——恰好只有一個解。它也給出穩定性（解連續地依賴資料），並在有邊界時控制波如何反射。同樣的乘起來再積分的訣竅可以放大，為更一般、沒有達朗貝爾這類顯式公式的雙曲方程給出能量估計。注意誠實的提醒：能量只在理想無損耗的方程中守恆；任何真實的阻尼（空氣阻力、內部摩擦）都會把它耗盡，這就是為何真實的弦終究會靜下來。