斯特拉托諾維奇積分（Stratonovich integral）
/ strah-tuh-NOH-vich /
斯特拉托諾維奇積分是服從普通微積分鏈鎖律、不帶二階修正項的另一種隨機積分。它之所以存在，是因為對無界變差的積分子而言，積分的值確實取決於你在每個子區間的何處對積分子取值：伊藤積分用左端點，斯特拉托諾維奇積分用中點（或兩端點的平均）。這一個約定的改變，以鞅性質為代價，換得了古典微積分。
H 對連續半鞅 X 的斯特拉托諾維奇積分，記為 integral_0^t H_s o dX_s（圓圈把它與伊藤的 d 區分），定義為使用對稱（中點平均）取值的黎曼和 sum (H_{t_k} + H_{t_{k+1}})/2 * (X_{t_{k+1}} - X_{t_k}) 之極限。等價地，它是伊藤積分加上積分子過程與積分子的二次協變差的一半：integral_0^t H o dX = integral_0^t H dX + (1/2) [H, X]_t。決定性的後果是普通鏈鎖律：對 f 屬於 C^3（或加溫和條件的 C^2），df(X) = f'(X) o dX，沒有 (1/2) f'' 項——對稱約定已把伊藤修正吸收進積分本身的定義裡。因此斯特拉托諾維奇微積分看起來與普通微積分一模一樣，這正是它在物理與幾何中成為自然選擇的原因，因那裡座標變換不變性（鏈鎖律）至為關鍵。
它用在何處、代價是什麼。斯特拉托諾維奇在三種情境中受青睞：把物理噪音建模為光滑（相關）噪音的極限，因為翁-扎凱（Wong-Zakai）定理指出由白噪音光滑逼近所驅動的 SDE 收斂到斯特拉托諾維奇 SDE 而非伊藤 SDE；在隨機微分幾何中，鏈鎖律必須尊重流形上的座標變換；以及任何想讓普通微積分直覺直接遷移之處。誠實的提醒：(1) 斯特拉托諾維奇積分一般並非鞅，即便對布朗運動亦然——這是鏈鎖律的代價，你失去了選擇停止與等距工具。(2) 它要求積分子 H 本身是半鞅（這樣 [H, X] 才有意義），這比伊藤積分所容許的僅可料、可能很粗糙的積分子要求更強。(3) 建模時必須刻意選擇：伊藤（左端點、非預期、鞅，當增量代表真正新鮮隨機性時的正確約定，如金融）對斯特拉托諾維奇（中點、鏈鎖律，作為光滑物理噪音理想化時的正確約定）。它們描述不同的模型，由明確的轉換公式相連。
計算 integral_0^t B o dB。由鏈鎖律它應為 B_t^2/2，就如同 x dx 的普通積分。透過轉換驗證：integral B o dB = integral B dB + (1/2)[B, B]_t = (B_t^2 - t)/2 + (1/2) t = B_t^2/2。伊藤版本有 -t/2 修正；斯特拉托諾維奇版本還原了天真的答案——(1/2)[B,B] = t/2 項恰好抵消了伊藤修正。
斯特拉托諾維奇給出普通微積分的答案 B^2/2；中點約定吸收了伊藤修正。
斯特拉托諾維奇積分服從鏈鎖律但一般並非鞅，且需要積分子是半鞅；當你想要鞅／無套利結構與新鮮隨機性建模時選伊藤，當你想要座標不變的微積分或光滑噪音極限時選斯特拉托諾維奇。