球填充（sphere packing）

你如何把一堆相同的球盡可能緊密地塞進空間而不重疊——就像水果商堆橘子那樣？球填充問題問的是：不重疊的等大球如何排列才能填滿最大比例的空間，以及那個比例——填充密度——的值。聽來基本、水果商一望即知，然而在大多數維度答案未知，而已解決的情形需要上世紀最驚人的某些數學。

形式上，一個填充是一族半徑相等、內部互不相交的球；其密度是它們的並集所占空間的極限比例。格填充——球心落在某格的點上——研究得最多：此時密度是球體積除以格協體積。二維中六方格給出最佳密度 pi/sqrt(12) ~ 0.9069（圖厄、托特）。三維中面心立方堆疊（水果商的金字塔）給出 pi/sqrt(18) ~ 0.7405——克卜勒猜想，由黑爾斯於 1998 年藉大量電腦輔助證明，並於 2014 年形式化驗證。與之密切相關的是吻數，即能同時碰觸一個中心球的最多球數：平面 6、三維 12，以及著名的 8 維 240 與 24 維 196560。

現代的里程碑結果是 8 維與 24 維：2016 年維亞佐夫斯卡證明 E8 格是 8 維中最密的填充，並與合作者證明利奇格在 24 維最優，所用的是由模形式造出、能精確驗證最優性的驚人乾淨的「魔法函數」。這些維度特殊，因為它們的例外格如此對稱，使線性規劃界變得緊。一個誠實的提醒：在 1、2、3、8、24 維之外，最佳填充密度未知，甚至一般也不知道最密填充是否為格填充——在高維中已知最佳填充常是無序的，而密度的上下界之間差距巨大。球填充也有具體回報：稠密填充給出最佳糾錯碼，把問題連向資訊理論。