數的幾何（geometry of numbers）

數論問整數及其組合；幾何問形狀與體積。數的幾何是閔可夫斯基的發現：你可以把整數畫成規則格點陣，藉著推理哪些凸形狀被迫含有格點，來回答困難的算術問題。它把「這個方程有整數解」之類的陳述，轉成「這個凸體大到無法錯過格」之類的陳述，用凸幾何的視覺、以體積為本的推理來換掉代數。

舞台是 R^n 中的格 L——某固定基的所有整係數組合，一個完全週期的點陣，其協體積 d(L) 度量每點所占體積。兩根支柱是閔可夫斯基的定理。第一：體積超過 2^n d(L) 的中心對稱凸體必含一個非零格點。第二支配對稱凸體 K 的相繼極小 lambda_1 <= ... <= lambda_n——K 首次捕獲 1, 2, ..., n 個線性獨立格點的最小膨脹——限制其乘積：(2^n/n!) d(L) <= lambda_1 ... lambda_n vol(K) <= 2^n d(L)。約化理論（埃爾米特、閔可夫斯基，以及演算法 LLL）提供「短而近乎正交」的基，使格中隱藏的短向量變得可見且可計算。

回報橫跨純粹與應用數學。古典上它證明拉格朗日四平方定理、狄利克雷逼近定理，以及代數數論中類數與單位群的有限性（閔可夫斯基界、狄利克雷單位定理）。現代的格支撐球填充（8 維與 24 維的最佳填充是 E8 與利奇格）、整數規劃，以及格密碼學，其安全性建立在尋找短格向量被推測為困難之上。一個誠實的提醒：「數的幾何」命名的是一套方法與觀點、而非單一定理；它的威力是真的，但它的界往往不銳利，而在一般高維格中尋找最短向量被認為在計算上難解——這正是密碼學家鍾愛它的緣故。