閔可夫斯基格點定理（Minkowski's lattice-point theorem）
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在空間中撒下排成完美規則格網的點，然後以其中一個點為心畫一個對稱的團塊。閔可夫斯基定理說：若這團塊夠大——大過一個與格網間距相繫的確定門檻——它就被「逼著」吞下除中心外的另一個格點。你無法讓一個大的中心對稱區域避開所有其他格點；單憑體積就強制命中。它是數的幾何的奠基定理，把關於整數的計數問題化為關於體積的陳述。
精確地說，設 L 是 R^n 中的格——n 個線性獨立向量的整係數組合之集——其基本域體積為 d(L)（其協體積）。設 K 是關於原點對稱的凸體（x 屬於 K 蘊含 -x 屬於 K）。閔可夫斯基定理斷言：若 vol(K) > 2^n * d(L)，則 K 含有一個非零格點。證明是漂亮的鴿籠原理（布利希費爾特論證）：把 K 縮小一半成 (1/2)K；若 vol((1/2)K) > d(L)，則把 (1/2)K 用格向量平移並摺回單一基本域中，必有兩塊重疊，兩個重疊點之差就是 K 內的一個非零格點。常數 2^n 是銳利的——開立方體 (-1, 1)^n 配整數格，體積恰為 2^n 卻不含非零格點。
這一個定理幾乎免費地證明了數論中的深刻事實：每個正整數都是四個平方之和（拉格朗日）、良好有理逼近的存在（狄利克雷定理的幾何形式），以及代數數論中的界，如藉閔可夫斯基界證明類數有限。閔可夫斯基的第二定理細化了它，限制 K 之相繼極小（K 首次含有 1, 2, ..., n 個獨立格點的最小縮放）之乘積。一個誠實的提醒：中心對稱與凸性兩者都不可少——去掉任一個定理就失效，因為一個大而偏斜或非凸的區域能躲開每個非零格點。而且界是體積嚴格超過 2^n d(L)；恰在門檻時，開凸體內不必有非零點。
取 L = Z^2（整數格網，協體積 1），K 是以原點為心、半徑 r 的圓盤，面積 pi*r^2——凸且對稱。閔可夫斯基門檻是 2^2 * 1 = 4，所以一旦 pi*r^2 > 4，即 r > 2/sqrt(pi) ~ 1.128，圓盤就必含一個非零整數點。事實上當 r 稍大於 1 時它已捕獲 (1,0)、(0,1) 等；只要凸體對稱、凸、且夠大，無論其形狀如何，定理都保證命中。
體積大於協體積的 2^n 倍的對稱凸體必含一個非零格點。
兩個假設缺一不可：去掉中心對稱（如偏離中心的大三角形）或凸性（面積巨大的細圓環），凸體就能避開每個非零格點。閔可夫斯基定理不是「大面積逼出格點」——而是「大面積加對稱加凸性」。