凸體（convex body）
想像一塊沒有凹陷、沒有孔洞、也沒有尖刺的黏土：無論你在其內部取哪兩點，連接它們的直線段都不會戳出外面。這個「沒有凹陷」的性質就是凸性，而凸體是它最乾淨的情形——R^n 中的一個凸集，它同時是有界的（裝得進某個大球內）、閉的（包含自己的邊界皮膚），而且夠「胖」、有真正的內部（不被壓扁成低維的薄片）。球、立方體、橢球、實心單純形都是凸體；甜甜圈、星形、或嵌在 R^3 裡的扁平圓盤則不是。
形式上，R^n 中的集合 K 稱為凸的，若對所有 x, y 屬於 K 及所有 t 屬於 [0, 1]，點 t*x + (1 - t)*y 都落在 K 內。K 是凸體，若它是凸的、緊的、且內部非空。這樣的凸體被它的支撐函數 h_K(u) = sup over x in K of <u, x> 完全確定：對每個單位方向 u，h_K 記錄 K 在該方向上能伸多遠；h_K 是凸且正齊次的，並完全決定 K。其邊界不必光滑（立方體有稜有角），但在每個邊界點上至少存在一個支撐超平面碰觸 K，並把整個 K 留在一側。
凸體之所以是凸幾何的核心對象，是因為許多量在其上行為溫順：體積、表面積、寬度、內切半徑在包含關係下都是單調的，而像閔可夫斯基和（逐點相加兩個凸體）這類運算也讓你留在這個類別之內。它們也是那些深刻體積不等式——布倫-閔可夫斯基不等式、等周不等式、混合體積——以及數的幾何的正確舞台。一個誠實的提醒：凸性是個強而幾近僵硬的假設；大多數日常形狀並不凸，理論的優雅正來自拒絕它們，所以「化約到凸情形」往往是真正失去一般性，而非免費的簡化。
取閉單位球 B = {x in R^n : |x| <= 1}。它是凸的（由三角不等式，兩個範數 <= 1 的點之間的線段範數仍 <= 1）、緊的、且內部非空，因此是凸體。它的支撐函數是 h_B(u) = |u|，因為方向 u 上最遠的點是 u/|u|。相對地，單位球面（外殼 |x| = 1）看起來「凸」，但並不是凸集：其上兩點間的弦會嚴格落入內部，離開外殼。
實心球是凸體；它的邊界球面則不是凸集。
有界性與內部非空這兩個條件對「體」這個字都不可少：閉半空間是凸且閉的卻無界，而 R^3 中的線段是凸且緊的卻內部為空——兩者都不是凸體。若再去掉「閉」，也會失去關鍵的緊性論證。