布倫-閔可夫斯基不等式（Brunn-Minkowski inequality）
/ BROON min-KOF-skee /
取兩個實心形狀，把一個滑過另一個的每一點、掃出所有和——這就是閔可夫斯基和——以此來「相加」它們。布倫-閔可夫斯基說，合成的形狀總是至少和你天真預期的一樣大：它體積的 n 次方根，至少是兩個原體積各自 n 次方根之和。在一個不等式中它道出：混合凸形狀從不浪費空間——凸性使體積在此種加法下表現出超可加性。
精確地說，對 R^n 中非空緊集 A 與 B，閔可夫斯基和是 A + B = {a + b : a in A, b in B}，不等式斷言 vol(A + B)^{1/n} >= vol(A)^{1/n} + vol(B)^{1/n}。等價地，對 t 屬於 [0, 1]，vol(t*A + (1-t)*B)^{1/n} >= t*vol(A)^{1/n} + (1-t)*vol(B)^{1/n}：體積的 n 次方根沿閔可夫斯基插值是凹函數。等號（對凸體）恰在 A 與 B 位似時成立——同一形狀至多差一個平移與縮放。對長方體看它的乾淨方式：兩個軸對齊長方體的和是邊長相加的長方體，而邊長上的不等式由算幾平均不等式得出；一般情形則是極限／重排論證。
布倫-閔可夫斯基是數學中最具影響力的不等式之一。古典等周不等式——在所有給定體積的物體中球的表面積最小——藉著取 B 為極小的球並求導便掉了出來。它支撐混合體積理論與亞歷山德羅夫-芬切爾不等式，在機率與分析中給出測度集中與無關維數的估計，其泛函表親是普雷科帕-萊因德勒不等式。兩個誠實的提醒：1/n 次方是不可少的——純體積並不超可加，vol(A+B) >= vol(A) + vol(B) 一般為假——而銳利的等號情形需要凸性；對非凸集不等式仍成立，但等號可能以退化方式發生。
設 A 與 B 都是 R^3 中的單位立方體 [0,1]^3。它們的閔可夫斯基和是體積為 8 的立方體 [0,2]^3。檢驗布倫-閔可夫斯基：vol(A+B)^{1/3} = 8^{1/3} = 2，而 vol(A)^{1/3} + vol(B)^{1/3} = 1 + 1 = 2。等號成立——正如所料，因為 A 與 B 位似（事實上相同）。純體積只會給出 8 >= 1 + 1，雖真卻弱得多；立方根形式才是銳利的陳述。
兩個單位立方體相加成 2x2x2 的立方體；1/3 次方形式取等（位似情形）。
維數的 1/n 次方不能去掉：「體積超可加」顯然為假（一片薄板加上一片垂直薄板各自體積很小，其和卻可以很大，而退化的扁平集體積為 0 其和卻有正體積）。只有 1/n 次方根才使乾淨的凹性成立。