亞歷山德羅夫-芬切爾不等式（Alexandrov-Fenchel inequality）
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混合體積是衡量凸體如何混合的係數；它們服從一條隱藏的曲率定律。亞歷山德羅夫-芬切爾不等式是該定律的母陳述：混合體積之間一個二次不等式，大致說「交叉項不能超過兩個對角項的幾何平均」。凸幾何幾乎每個古典不等式——布倫-閔可夫斯基、等周不等式、各 quermassintegral 之間的不等式——都是巧選凸體所得的特例。
精確地說，對 R^n 中的凸體 K、L，以及另外 n - 2 個凸體的列表 C = (C_1, ..., C_{n-2})，混合體積 V(K, L, C) 滿足 V(K, L, C)^2 >= V(K, K, C) * V(L, L, C)。換言之，混合體積在其前兩個位置是「對數凹的」雙線性型：由這三個分量構成的矩陣在相關子空間上負半定，一個二次型不等式。把所有 C_i 取為單位球，便化約為內蘊體積間的古典閔可夫斯基二次不等式；用 K + L 來佈置則還原布倫-閔可夫斯基。此不等式確實深刻——亞歷山德羅夫於 1930 年代給出兩個證明，而等號情形要到很久之後才被完全解決。
它的觸及面巨大而出人意表。在幾何內部，它統一了等周型不等式並支撐賦值理論。在外部，它有驚人的應用：史坦利用一個組合版的亞歷山德羅夫-芬切爾不等式，證明了偏序集線性延拓計數的單調性結果（著名的 XYZ 型與對數凹定理），把凸幾何連向組合學、甚至連向長年計數猜想的解決。兩個誠實的提醒。其一，等號情形出了名地微妙——遠比不等式本身困難，完整分類是現代的一項重大成就。其二，儘管威力強大，此不等式並不容易應用：選取輔助凸體 C 以萃取某個想要的古典不等式，是一門藝術、而非公式。
在平面上（n = 2）沒有額外的凸體 C，不等式讀作 V(K, L)^2 >= V(K, K) * V(L, L) = area(K) * area(L)。取 L 為單位圓盤，V(K, disk) 是 K 周長的一半，於是這變成 (perimeter/2)^2 >= area(K) * pi，即 perimeter^2 >= 4*pi*area——正是等周不等式，等號只在圓盤時成立。亞歷山德羅夫-芬切爾把等周性當作一行推論交給你。
在平面上此不等式塌縮為 perimeter^2 >= 4*pi*area——等周不等式。
亞歷山德羅夫-芬切爾的等號情形比不等式本身困難得多，數十年都未被完全理解；不要假設天真的「K 與 L 位似」刻畫總成立——在更高的混合情境中會出現退化的等號配置。