多胞形（polytope）
多胞形是多邊形與多面體的高維表親：一個有平直側面、尖銳角點、處處不彎曲的形狀。三角形與正方形是二維多胞形；立方體、四面體、角錐是三維的；在四維及以上，這個家族延續著像四維立方體、正六百胞體這樣的對象。統一的想法是「一個被有限多次平直切割削出的有界形狀，其邊界由各個低於最高維的平直面組裝而成」。
有兩個等價的定義，而它們的等價性（閔可夫斯基-外爾定理）是個小小的奇蹟。V-描述：多胞形是有限多點的凸包 conv{v_1, ..., v_k}——由頂點建造。H-描述：多胞形是有限多個閉半空間的有界交集 {x : <a_i, x> <= b_i, i = 1..m}——用超平面切割削成。每個真正碰到邊界的切割貢獻一個面；多胞形的面（0 維的頂點、1 維的稜、……、n-1 維的facet）本身也是多胞形，並依包含關係組織成面格。例如立方體有 8 個頂點、12 條稜、6 個facet，外加空面與整個立方體。
多胞形是幾何、組合學與最佳化的交會點。線性規劃就活在其上：線性規劃的可行域是多胞形（或無界多面體），最優值在某頂點達到，正是單純形法所走向之處。它們的組合學很深——三維多胞形的歐拉公式 V - E + F = 2、一般情形的德恩-索莫維爾關係與上界定理。兩個提醒：「多面體（polyhedron）」常指可能無界的版本（多胞形恰是有界多面體），而且並非每種組合面結構都能由真正的幾何多胞形實現，尤其在高維——可實現性問題確實困難。
R^3 中的標準單純形是 conv{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}（V-描述）：一個有 4 個頂點的四面體。同一個實體也是 {x in R^3 : x_1 >= 0, x_2 >= 0, x_3 >= 0, x_1 + x_2 + x_3 <= 1}（H-描述）：四道半空間切割。兩種圖像描述同一個多胞形——這正是「由角點建造」與「由牆面削成」之間的閔可夫斯基-外爾橋樑。
四面體既是 4 點的凸包，也是 4 個半空間的交集。
在 V-描述與 H-描述之間轉換在計算上代價高昂：由 m 個facet 給出的多胞形，在高維可有指數多個頂點（反之亦然）。兩種呈現原則上等價，實務上卻無法廉價互換。