多胞形的 f 向量（f-vector）

若有人遞給你一個多胞形、問「它有多複雜？」，最簡單而誠實的答覆是一份清點：幾個角、幾條稜、幾個平直側面，如此沿維度往上。這份按次序列出的清點就是 f 向量。立方體的是 (8, 12, 6)：八個頂點、十二條稜、六個正方形 facet。四面體的是 (4, 6, 4)。f 向量是多胞形最基本的組合指紋，無視它確切的形狀與大小，只記錄它各維面的普查。

精確地說，對 n 維多胞形 P，令 f_k 為 k 維面的個數——f_0 個頂點、f_1 條稜、……、f_{n-1} 個 facet。f 向量就是 (f_0, f_1, ..., f_{n-1})。這些數並非彼此獨立：它們滿足歐拉-龐加萊關係，即交錯和 f_0 - f_1 + f_2 - ... + (-1)^{n-1} f_{n-1} = 1 - (-1)^n，當 n = 3 時就是熟悉的 V - E + F = 2。對單純多胞形（每個 facet 都是單純形）還有更多約束成立——德恩-索莫維爾關係——而所有可達 f 向量的全集由著名的 g 定理所刻畫。

f 向量是通往整套多胞形組合理論的門戶。它是上界定理所限制的對象（給定 f_0，f_{n-1} 最多能多大？）、是下界定理由下方所限制者，也是閔可夫斯基定理據以重建多胞形的資料。一個值得言明的提醒：f 向量只記得計數、不記得面如何拼接，所以兩個組合上不同的多胞形可以共享同一個 f 向量；它是個粗糙的不變量。更精細的不變量是整個面格，它記錄了 f 向量所遺忘的關聯結構。