德恩-索莫維爾關係（Dehn-Sommerville relations）
/ DAYN SOM-er-vil /
當你清點一個行為良好的多胞形的面——一個其 facet 全是三角形、三角形之三角形……（單純多胞形）——這些計數不能隨你高興。它們服從一張緊密的線性方程網，逼使高維面計數鏡映低維面計數。德恩-索莫維爾關係正是那張網：單純多胞形 f 向量各分量之間的一組對稱方程，把單一的歐拉關係推廣成一整族。
它們在 h 向量中讀起來最乾淨，h 向量是 f 向量的線性重新打包，由 sum over i of f_{i-1} * (x - 1)^{n-i} = sum over i of h_i * x^{n-i} 定義（空面取 f_{-1} = 1）。德恩-索莫維爾關係於是簡單地說 h_i = h_{n - i} 對所有 i 成立：單純 n 維多胞形的 h 向量是迴文的，一種鏡像對稱。譯回面計數，這給出 f_k 之間約 n/2 個獨立線性關係，所以對單純多胞形，f 向量只有約一半是自由的——其餘由它們決定。歐拉關係 V - E + F = 2 是你在三維中得到的那一條關係（此處化約為 h_0 = h_3 與 h_1 = h_2）。
這些關係是多胞形組合學的結構脊骨。它們使上界定理得以證明（史坦利的證明用 h 向量及其作為分次環希爾伯特函數資料的代數意義），而迴文的 h 向量正是單純多胞形邊界所三角剖分的那個球面之龐加萊對偶的影子。一個誠實的提醒：德恩-索莫維爾對單純多胞形（以及更一般的歐拉型單純複形）成立；facet 不是單純形的一般多胞形只滿足單一的歐拉關係，而非完整的迴文對稱。要把這些關係用在任意多胞形上，必須先三角剖分或取對偶。
取任一單純三維多胞形（所有 facet 都是三角形），譬如 f 向量為 (6, 12, 8) 的八面體。它的 h 向量算出來是 (1, 3, 3, 1)——迴文的，正如德恩-索莫維爾所要求：h_0 = h_3 = 1 且 h_1 = h_2 = 3。這個迴文把歐拉關係與三角形計數約束打包成一個對稱，並預言一旦知道 f_0，f_1 就被決定：此處 3*f_0 - 6 = 3*6 - 6 = 12 條稜。
八面體的 h 向量 (1,3,3,1) 是迴文的——德恩-索莫維爾的鏡像。
這些關係是單純多胞形（或其對偶——簡單多胞形）的性質。立方體是簡單而非單純的，所以要把關係用在它的對偶八面體、或某個單純多胞形上；直接用在非單純多胞形上會給出錯誤的約束。