赫利定理（Helly's theorem）
/ HEL-ee /
你有一大堆凸形狀，想知道它們是否共有一點。一次檢查整堆很難。赫利定理在 n 維給出驚人的捷徑：你只需檢查其中任意 n + 1 個是否有共同點。若每個 n + 1 個的小組都重疊，那麼神奇地，所有形狀同時重疊。小子族間的局部一致，逼出全域一致。
精確地說，設 C_1, ..., C_m 是 R^n 中的凸集、m >= n + 1。赫利定理斷言：若這些集合中任意 n + 1 個有非空的共同交集，則全部 m 個有非空的共同交集。（對無窮多個集合，只要集合為緊以提供有限交性質的緊性論證，同樣成立。）在平面上（n = 2）魔法數是 3：若你的凸集任意三個都相交，則它們全都相交。證明仰賴拉東定理——把 n + 2 個點分成凸包相交的兩組——應用於巧選的見證點，是個優雅的歸納。
赫利定理是組合凸性的基石，並孕育出幾何、最佳化、甚至資料科學中一整門「赫利型」結果的產業。它解釋了為何許多可行性問題化約為檢查小的子系統，支撐中心點與火腿三明治型定理，並乾淨地證明，例如一族直線上兩兩重疊的區間必共有一點（n = 1 情形）。兩個誠實的提醒。其一，凸性不可少：對非凸集定理徹底失效——三個新月可以兩兩重疊卻無共同點。其二，數字 n + 1 恰好正確、不可再降；在平面上「任意兩個相交」不逼出共同點（圍著小孔的三個細長三角形兩兩相交卻一無所共）。
在直線上（n = 1）赫利數是 2。取任一族區間，使其中任意兩個都重疊；赫利說它們全都共有一點。具體地，區間 [0,3]、[1,4]、[2,5] 兩兩重疊，而 [2,3] 確實是三者共有。定理保證這非巧合：區間的兩兩重疊總逼出全域共同點——一旦容許像「兩段不相交線段」這種非凸集，這就失效。
在直線上，兩兩重疊的區間總共有一點（赫利，n=1）。
門檻 n + 1 不能降低，凸性不能去掉。兩者都是緊的：平面上三個細三角形可以圍著一個孔兩兩相交而三重交集為空，而任何非凸的例子即使兩兩完全重疊也會破壞結論。