卡拉特奧多里定理（Carathéodory's theorem）
/ ka-ra-tay-OH-do-ree /
若一點坐落在一大團點雲的凸包之內，你或許擔心需要整團雲才能表達它。卡拉特奧多里定理讓你安心：在 n 維中你絕不需要超過 n + 1 個點。凸包中任一點已是至多 n + 1 個原始點的加權平均——總有一個小委員會足以為它擔保。平面三點、空間四點；維數加一就是你所需的全部。
精確地說，若點 x 落在 R^n 中集合 S 的凸包內，則 x 落在 S 的某個至多 n + 1 個點的子集的凸包內。等價地，x = sum t_i v_i 是用 S 中至多 n + 1 個 v_i 的凸組合。證明是個化約論證：若 x 被寫成多於 n + 1 個點的凸組合，這些點仿射相依，故有非零關係 sum c_i v_i = 0 且 sum c_i = 0；把這關係的適當倍數加進權重，可把某個權重逼到零，同時讓其餘非負且和為 1——你便用少一個點重新表達了 x。重複直到只剩 n + 1 個。
卡拉特奧多里定理正是有限集的凸包為頂點有限的多胞形之緣由，也是赫利-拉東-卡拉特奧多里三巨頭的第三位，三者都可由同一個仿射相依的想法證出。它支撐演算法（你總能把一個表示稀疏化到 n + 1 個原子）、經濟學中的沙普利-福克曼引理（非凸集之和的近似凸性），以及極點理論。兩個誠實的提醒。其一，n + 1 是銳利的界，由一般位置的點達到（單純形的中心確實需要全部 n + 1 個頂點），故你一般不能用更少。其二，定理給出小的表示子集之存在性，而非唯一性或找出最佳者的程序——同一個 x 可有許多有效的 (n + 1) 點委員會。
在平面上（n = 2）取單位正方形的四個角與中心點 (1/2, 1/2)。中心是四個角各權重 1/4 的凸組合——但卡拉特奧多里保證三個就夠。而中心確實是對角線 (0,0) 與 (1,1) 的中點，是僅僅兩個角的凸組合。至多 n + 1 = 3 個點總是可行，常常更少。
正方形的中心至多需要 3 個角（此處只需 2 個，對角線中點）。
界 n + 1 是銳利的卻是個上界——許多點需要更少，且表示子集不唯一。還有一個「彩色卡拉特奧多里」細化（巴拉尼）：若 x 落在 n + 1 個有色凸包中，則每色取一點的彩虹子集已含 x。