分離超平面定理（separating hyperplane theorem）

若兩群人站在兩邊、中間有空隙，你可以沿著空隙拉一條直繩，讓一群人嚴格留在左邊、另一群嚴格留在右邊。分離超平面定理把這件事對凸集說精確了：兩個不重疊的凸集可以被一面平牆分開，每邊各一個集合。它是線性分類器存在的幾何理由、凸對偶的基石，也是哈恩-巴拿赫定理的有限維投影。

最乾淨的版本：設 A、B 是 R^n 中非空且不相交的凸集。則存在非零向量 u 與數 c，使對所有 x 屬於 A 有 <u, x> <= c、對所有 y 屬於 B 有 <u, y> >= c——一個超平面 <u, x> = c 把 A 留在一側、B 留在另一側。若又有 A 緊、B 閉（且兩者不相交），則分離是嚴格的：存在縫隙 <u, x> <= c1 < c2 <= <u, y>，使牆兩側都有餘裕。對「一點與一閉凸集」的證明思路：取集合中離外點 p 最近的唯一點 q；以 p - q 為法向、過中點的垂直平分超平面便把它們分開——最近點的唯一性正是凸性發力之處。

這一個定理驅動了驚人之多的東西：線性規劃的對偶、經濟學中支撐價格的存在（第二福利定理）、支援向量機中的間隔、法卡斯引理，以及賽局論中的極小極大定理。兩個誠實的提醒。其一，僅僅不相交一般只給出弱（非嚴格）分離——兩個不相交的凸集可能「漸近相切」（如 y = e^x 下方的區域與 y <= 0 的區域），沒有嚴格縫隙，所以要得到嚴格分離必須在某處假設緊性。其二，在無窮維中需要集合有非空內部，或小心地動用哈恩-巴拿赫；單憑閉性並不夠。