正弦乘積公式
正弦函數在複平面上看是整函數，且恰好在整數處消失。代數基本定理暗示函數應是其在根上消失的因子之乘積——而歐拉膽敢把正弦寫成這樣一個無窮乘積，比魏爾斯特拉斯為之辯護早了兩個世紀。結果就是正弦乘積公式：sin(pi z) = pi z 乘上 product over n >= 1 of (1 - z^2/n^2)。每個因子 1 - z^2/n^2 在 z = +-n 處消失，領頭的 pi z 提供原點的零點，合起來涵蓋正弦的每一個零點。
對照建構機制來看，這是零點集 {全體整數} 的典範魏爾斯特拉斯乘積。零點在 n != 0；使 sum 1/|n|^(p+1) 收斂的最小次數是 p = 1，故典範基本因子是 E_1(z/n)，它們以共軛對（z = n 與 z = -n）合併為看似實數的因子 1 - z^2/n^2。除了常數 pi 之外不需要任何 e^g 修正，因為零點的對稱性使乘積自身保持收斂。因此這公式不是幸運的巧合；它正是魏爾斯特拉斯理論對整數所產生的東西。
這公式是經典恆等式的生成器。取對數導數（對兩邊取對數再微分）把乘積變成餘切的部分分式展開 pi cot(pi z) = 1/z + sum 2z/(z^2 - n^2)。代入 z = 1/2 把乘積塌縮成沃利斯乘積 pi/2 = (2/1)(2/3)(4/3)(4/5) ... 表示 pi。它還是伽瑪函數反射公式 Gamma(z) Gamma(1 - z) = pi / sin(pi z) 的基礎，把這個建構與特殊函數聯繫起來。歐拉大膽的無窮乘積原來是一塊基石。
在 sin(pi z) = pi z product (1 - z^2/n^2) 中代入 z = 1/2：左邊是 sin(pi/2) = 1，故 1 = (pi/2) product over n >= 1 of (1 - 1/(4n^2))。重排得沃利斯乘積 pi/2 = product over n >= 1 of (4n^2)/(4n^2 - 1) = (2*2)/(1*3) * (4*4)/(3*5) * ...——一個直接由正弦乘積抽出的 pi 公式。
在 z = 1/2 處求值正弦乘積，得出表示 pi/2 的沃利斯乘積。
因子必須分組為 1 - z^2/n^2（把 +n 與 -n 配對），而非當作分開的 (1 - z/n) 項：未配對的乘積發散，而配對的則絕對收斂。收斂性就住在這對稱的分組裡。