無窮乘積
我們對把無窮多個數相加都很熟悉——那就是級數。無窮乘積是它在乘法上的表親：不再累加總和，而是累積乘積。把因子寫成 1 + a_n，於是乘積是 (1 + a_1)(1 + a_2)(1 + a_3) ...，我們觀察部分乘積 P_N = (1 + a_1) ... (1 + a_N) 隨 N 增大的行為。自然的問題與級數相同：這些部分乘積會穩定到一個有限的數嗎？
這裡有一個加法沒有的轉折，也正是為何乘積寫成 1 + a_n 而非僅 b_n 的原因。在加法中，「穩定下來」的唯一方式是加上越來越小的片段；在乘法中，你還可以靠乘上越來越接近 1 的數來穩定。因此收斂無窮乘積的正確定義是：P_N 趨於一個「非零」的極限 P（我們通常把極限 0 排除於「收斂」之外，否則只要有一個零因子，後面再亂也看起來收斂）。為使部分乘積接近 1 的行為，因子必須趨近 1，即 a_n 必須趨於 0——這是第 n 項判別法的乘法版本。
為何要用相乘而非相加來建構函數？因為零點是相乘的。多項式是 c(z - r_1)(z - r_2) ... (z - r_n)——一個有限乘積，其因子恰好在根上消失。無窮乘積正是我們把這幅美麗的因式分解圖景推廣到具有無窮多個零點的函數的方法，例如 sin(pi z)，我們將把它寫成一個在每個整數處消失的無窮乘積。乘積能把函數的零點擺出來展示，這是和式永遠做不到的。
對 n >= 1 取 (1 - 1/(n+1)^2) 的乘積會發生望遠鏡式相消：其第 N 個部分乘積等於 (1/2)(N+2)/(N+1)，當 N -> infinity 時趨於 1/2。因此這個無窮乘積收斂，值為 1/2。注意每個因子 1 - 1/(n+1)^2 都是接近 1 的數，且隨 n 增大而越來越接近 1。
一個望遠鏡式相消的乘積，收斂到一個非零極限；其因子必然趨近 1。
把因子寫成 1 + a_n 不是裝飾：乘積的收斂取決於 sum a_n（而非因子之和）是否良好。若哪怕一個因子恰為 0，整個乘積就是 0，這正是我們用來編碼函數零點的方式——但這被排除在技術用語「收斂」之外。