全純函數的無窮乘積
現在讓因子是函數、而非數。我們想把無窮多個全純函數相乘——寫成 1 + f_n(z)——並問乘積 P(z) = product of (1 + f_n(z)) 本身是否是 z 的一個合理的全純函數。這是建構的引擎室：我們將藉此製造具有指定零點集的函數，方法是選取各自在我們想要零點的地方消失的因子。
乾淨的定理是：若 f_n 在某區域上全純，且級數 sum |f_n(z)| 在該區域的每個緊緻子集上「一致」收斂，則乘積 P(z) 在緊緻集上一致收斂，且極限 P 在那裡全純。更妙的是，P 的零點恰好是那些至少使一個因子 1 + f_n 為零的點，而 P 在某點零點的重數（階）等於各個在該點消失的因子所貢獻的階之和。因此乘積確實是用零點來組裝函數：每個因子捐出一個零點，極限把它們全部收集起來。
對數導數有一個美麗的附帶公式。對 log P = sum log(1 + f_n) 逐項微分得到 P'(z)/P(z) = sum f_n'(z) / (1 + f_n(z))，在和式良好收斂之處成立。這把乘積化成簡單片段之和，是通往部分分式展開的橋樑：例如對正弦乘積微分，直接交給你餘切的部分分式展開。乘積與部分分式是同一物件的兩種視角，由對數導數連接。
乘積 P(z) = product over n >= 1 of (1 - z^2 / n^2) 的因子是 1 + f_n，其中 f_n(z) = -z^2/n^2，而 sum |f_n(z)| = |z|^2 sum 1/n^2 在任意圓盤 |z| <= R 上一致收斂。因此 P 是整函數，且恰好在某因子為零之處消失——即 z = +-n，那些非零整數。乘上因子 pi z 後，這就是 sin(pi z)。
sum |f_n| 在緊緻集上的一致收斂使乘積全純；其零點是從因子收集而來——此處是整數。
必須一致收斂的是 sum |f_n(z)|，而非 |1 + f_n| 之積。要求因子的模收斂是錯的判別法；正確的對象是偏差 f_n，正如數的乘積中是 a_n。