乘積的一致收斂
當乘積的因子依賴於 z 時，我們不只要乘積對每個個別的 z 收斂——還要它以尊重全純性的方式收斂。正確的強度是在緊緻集上一致收斂：在區域的每一片閉且有界的部分上，部分乘積以一個與你選哪個 z 無關的單一速率趨近極限。這正是讓極限從因子繼承全純性的條件（依魏爾斯特拉斯，全純函數的一致極限仍全純）。
這裡是實用的把手。設 f_n 在某區域上全純，且在每個緊緻子集 K 上你能界定 sum (在 K 上 |f_n| 的上確界) < infinity——即偏差在 K 上一致可加。則 product of (1 + f_n) 在 K 上一致收斂、極限全純，而你可以透過處理因子來微分或積分這個乘積。這種「偏差在緊緻集上一致可加」有時稱為正規收斂，是每一個魏爾斯特拉斯與米塔-列夫勒建構所在的標準假設。
為何堅持用緊緻集、而非一次處理整個區域？因為像正弦乘積這樣的函數，其因子的偏差在無窮遠附近並「不」保持一致地小——sum |z^2/n^2| 隨 |z| 增大而爆掉。解方是每次只把注意力固定在一個有界圓盤 |z| <= R 上：在該圓盤上和式的尾項一致地微小，故乘積表現完美。再讓 R 增大，就逐盤覆蓋整個平面。這種「局部一致」的觀點，是在無界定義域上處理函數乘積的標準而誠實的方式。
對乘積 (1 - z^2/n^2)，固定圓盤 |z| <= R。其上 |z^2/n^2| 在盤上的上確界為 R^2/n^2，而 sum R^2/n^2 = R^2 pi^2/6 < infinity。因此偏差在盤上一致可加、乘積在那裡一致收斂，極限（sin 的倍數）在 |z| <= R 上全純。由於 R 任意，sin 為整函數。
在每個圓盤 |z| <= R 上用一個收斂的數值級數界定偏差；在每個圓盤上的一致收斂給出一個整函數極限。
全純函數乘積的逐點收斂不足以保證極限全純；你需要在緊緻集上的一致性。這與函數級數的教訓相同——僅在每一點收斂並不傳遞光滑性。