餘切的部分分式展開
餘切展開是最著名的部分分式恆等式，是其他一切的範本。函數 pi cot(pi z) 是亞純函數，在每個整數 n 處有單極點，且在每一處其主要部分恰為 1/(z - n)。米塔-列夫勒於是把它組裝成那些簡單分式的收斂之和：pi cot(pi z) = 1/z + sum over n >= 1 of [1/(z - n) + 1/(z + n)] = 1/z + sum over n >= 1 of 2z/(z^2 - n^2)，對所有非整數的 z 成立。
為何要把 +n 與 -n 配對？把 1/(z - n) 對所有整數分別相加會發散（各項表現如 -1/n，調和尾項）。把 n 處的極點與 -n 處的極點配對得到 1/(z - n) + 1/(z + n) = 2z/(z^2 - n^2)，其各項現在像 1/n^2 衰減，故對稱和絕對收斂。這個配對是米塔-列夫勒收斂修正的具體化——而它是由極點的結構所迫、並非自由選擇。孤立項 1/z 處理原點的極點。
這一個恆等式是主力。對它逐項微分得到展開 pi^2 / sin^2(pi z) = sum 1/(z - n)^2。把它在 z = 0 附近展成冪級數、並與 cot 已知的泰勒級數比對係數，就得出黎曼ζ函數在偶整數處的值——最著名的是 sum 1/n^2 = pi^2/6（巴塞爾問題）與 sum 1/n^4 = pi^4/90。而對它積分則還原出正弦乘積公式。餘切展開是正弦乘積、sin^(-2) 展開與偶ζ值全都由此輻射而出的樞紐。
在 pi cot(pi z) 中代入 z = 1/2，左邊得 cot(pi/2) = 0，右邊 2 + 4 sum over n >= 1 of (1/2)/((1/2)^2 - n^2) 經適當操作重組為萊布尼茲型恆等式 pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - ... 。更直接地，把 pi z cot(pi z) 的 z^2 係數與其泰勒級數比較，得出 sum over n >= 1 of 1/n^2 = pi^2/6。
把 pi z cot(pi z) 的泰勒係數與其部分分式和比對，導出 sum 1/n^2 = pi^2/6。
n 與 -n 的配對是本質的、非裝飾：對稱和 sum [1/(z-n)+1/(z+n)] 絕對收斂，但若你試圖以偏頗的次序把 1/(z-n) 對整數相加，會得到發散或依次序而定的結果。