部分分式展開
從代數你知道有理函數可以拆成簡單片段——例如 1/(z^2 - 1) 分解為 (1/2)/(z - 1) - (1/2)/(z + 1)，每個極點一個分式。部分分式展開正是這個想法推到具無窮多個極點的亞純函數：你把它寫成每個極點一個簡單項（該處的主要部分）之和，匯成一個收斂級數。冪級數在單一點附近展示函數，而部分分式展開則一次跨越所有極點展示它。
具體地說，若 f 為亞純函數、在 b_1, b_2, ... 處有單極點、在 b_n 處留數為 r_n，則展開的核心是對 n 取 r_n / (z - b_n) 之和——每一項正是某極點處的主要部分。這個原始的和常發散，故（依米塔-列夫勒）你減去使收斂的修正常數、或許再加一個整函數；打磨後的結果是一個在緊緻集上（避開極點）收斂到 f 的級數。實際讀出各項的方法：留數 r_n 正如留數計算中那樣求得，例如對單極點 r_n = lim as z -> b_n of (z - b_n) f(z)。
這些展開在兩個方向上都強而有力。從左讀到右，它們讓你把一個複雜的亞純函數理解為一個透明的極點之和。從右讀到左，它們是求和的機器：在像餘切展開這樣的恆等式中代入一個方便的 z 值，會把一個無窮的簡單分式之和塌縮成封閉形式，這正是歐拉式的求值如 sum 1/n^2 = pi^2/6 掉出來的方式。因此部分分式同時是結構分解與計算工具。
函數 pi^2 / sin^2(pi z) 在每個整數處有一個主要部分為 1/(z - n)^2 的二階極點。其部分分式展開為 pi^2 / sin^2(pi z) = sum over all integers n of 1/(z - n)^2。此和無需任何修正即收斂（各項像 1/n^2 衰減），它把整個函數攤開成其二階極點上的乾淨之和。
pi^2 / sin^2(pi z) 寫成 1/(z - n)^2 對整數的和——一個自身即收斂的部分分式展開。
你是否需要修正的減項，取決於主要部分衰減得多快：對二階極點如 1/(z-n)^2 的項，裸和已收斂，但對單極點 1/(z-n) 則不然，修正是必需的。略去它們會給出一個發散、無意義的「展開」。