半群性質（semigroup property）
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常識告訴我們，讓系統演化三秒，再演化兩秒，所到之處應與一口氣演化五秒完全相同。等待如何切分，不應改變終點。半群性質正是精確地說：矩陣指數尊重這一點，先演化時間 t、再演化時間 s，疊合起來就是演化時間 t + s。
用符號寫，對所有 t 與 s，e^(A(t+s)) = e^(At) e^(As)。這正是純量律 e^(a(t+s)) = e^(at) e^(as) 的精確回響，指數把時間的相加變成算子的相乘。證明依賴一個低調卻關鍵的事實：A 與自身可交換，故兩級數乘積中的交叉項，恰如數字情形那樣對齊（二項式定理成立），兩邊逐項相符。因為 A 永遠與 A 可交換，e^(At) 與 e^(As) 彼此也可交換，且所有 t 的這族映射構成一個光滑的單參數群：e^(A0) = I 是「什麼都不做」的元素，而 e^(-At) 正是讓流倒退的逆元。
之所以稱半群而非群，是承襲自更艱深情境的習慣：許多演化問題（如熱擴散）只能讓時間前進、絕不能倒退，故只有非負的 t 才有意義，亦無逆元。對矩陣指數，你其實確有逆元，所以它是完整的群；「半群」之名乃沿用自那套更廣的理論。更深的警告也潛伏於此：e^(A) e^(B) 等於 e^(A+B) 僅當 A 與 B 可交換。乾淨的律對 e^(At) 與 e^(As) 成立，恰恰因為兩者都由同一個 A 構成。
對旋轉矩陣 A = [0, 1; -1, 0]，e^(At) 把平面旋轉角度 t。半群律 e^(A(t+s)) = e^(At) e^(As) 不過是日常事實：先轉 t 再轉 s，就是轉 t + s。但對兩個不同矩陣可能失效：一般而言 e^(A) e^(B) 不等於 e^(A+B)，正因為先繞一軸再繞另一軸，當兩軸不同時，並不等同於一次合成的旋轉。
時間相加變成算子相乘，但僅沿單一矩陣自己的時間軸成立，那裡一切皆可交換。
e^(A+B) = e^(A) e^(B) 一般不成立，只有當 A 與 B 可交換（AB = BA）時才成立；半群律之所以存活，僅因為 e^(At) 與 e^(As) 共用同一個 A。