線性系統的流（flow）

把系統的狀態想成一個點，活在某個空間裡，兩個未知量就是平面上的一點，n 個未知量就是 n 維空間中的一點。隨著時間流逝，那個點沿著一條曲線移動。現在對每個可能的起點同時這樣做，你就得到一整片移動中的點場，宛如流動的流體。流（flow）就是那條規則，它對每個起點與每段經過時間 t，準確指出那個點被帶到了何處。它是把系統看成運動，而非看成方程。

對線性系統 x' = A x，流由矩陣指數給出：把起態 x0 送到它經過時間 t 後位置的算子，就是左乘 e^(At)。寫成映射 x0 映到 e^(At) x0。這個映射是線性的（它就是一個矩陣），在 t = 0 時什麼都不做（e^(A0) = I 讓每個點不動），而先跑時間 t 再跑時間 s，與一次跑 t + s 是相同的，因為 e^(As) e^(At) = e^(A(t+s))。於是所有 t 的這族映射彼此一致地接合起來，這份一致性恰好就是半群性質，也正是「流」這個詞之所以恰當的原因。

把解看成流，而非看成單一軌跡的公式，是進入定性理論的門戶。流可以沿某些方向拉伸空間、沿另一些方向壓縮（特徵值決定速率），可以旋轉（複數特徵值），也可以讓某些部分不動（零特徵值）。平衡點是流永不移動的點；穩定性則是鄰近的點被拉入還是被推出。整個相圖分析，都是在讀這個流的幾何。