狀態轉移矩陣（state-transition matrix）
把機器、電路與太空船建模成微分方程組的工程師，需要一個對象來回答一個問題：給定系統此刻的狀態，稍後的狀態會是什麼？狀態轉移矩陣正是那個算子。把你目前的狀態向量乘以它，便得到未來某時刻的狀態，它把狀態從一個時刻轉移到另一個時刻。
對常係數系統 x' = A x，從時刻 t0 到時刻 t 的狀態轉移矩陣是 e^(A(t - t0))，若從 t0 = 0 出發則就是 e^(At)。它以 x(t) = e^(A(t - t0)) x(t0) 把 x(t0) 帶到 x(t)。它具有你對此物會要求的自然性質：從某時刻轉移到自身什麼都不做（t = t0 時等於 I），先前向再前向轉移會疊合（半群性質，e^(A(t - s)) e^(A(s - t0)) = e^(A(t - t0))），且可求逆以倒退運行。對一般時變系統 x' = A(t) x，並無矩陣指數可言，此時狀態轉移矩陣寫作 Phi(t, t0)，定義為在 t0 處等於 I 的主基本矩陣，即真正一般的對象。
此詞之所以與「矩陣指數」並存，多半出於文化：它是控制理論與系統工程的語言，在那裡它支撐著系統響應如何計算、可控性與可觀性如何定義，以及完整的輸入驅動解 x(t) = Phi(t, t0) x(t0) + Phi(t, s) g(s) ds 的積分如何組裝。對常數 A 它與 e^(At) 是同一對象；對時變 A 它是裸指數無法提供的正確推廣。
一顆衛星的姿態在參考朝向附近遵守 x' = A x。地面控制在一次經過時測得狀態 x(t0)，想要下一次經過時的狀態 x(t1)。他們算一次狀態轉移矩陣 Phi = e^(A(t1 - t0))，此後每次預測都只是一次矩陣與向量的乘積 x(t1) = Phi x(t0)。同一個 Phi 重複使用，也把估計中的不確定度向時間前向傳播。
對常數 A 與 e^(At) 同一對象，但這名稱與 Phi(t, t0) 記法可推廣到無指數可言的時變系統。
對時變的 A(t)，你不能逕寫 e^(A 的積分)，除非 A(t) 在不同時刻彼此可交換，否則此式失效；正確的對象是狀態轉移矩陣 Phi(t, t0)，由 Phi' = A(t) Phi、Phi(t0, t0) = I 定義，而非由天真的指數定義。