主基本矩陣（principal fundamental matrix）
系統 x' = A x 的基本矩陣（fundamental matrix），是一個方陣，其各列為一整組獨立的解向量並排而成。任何這樣的矩陣都滿足矩陣方程 X' = A X，並讓你把每個解寫成 X(t) c，其中 c 是某個常數列。但基本矩陣有無窮多個，你可以隨意縮放或重組各列，而其中大多數在初始時刻並無明顯意義。主基本矩陣，便是那個特別的、歸一化的選擇，使記帳工作徹底消失。
它就是在所選初始時刻等於單位矩陣的那個基本矩陣。若從 t = 0 出發，主基本矩陣 Phi(t) 滿足 Phi' = A Phi，且 Phi(0) = I。好處立刻顯現：初態為 x(0) 的解就是 x(t) = Phi(t) x(0)，沒有任何待解常數，因為在 t = 0 時矩陣是 I，原封不動地交回 x(0)。若你手上已有任一基本矩陣 X(t)，便可由 Phi(t) = X(t) X(0)^(-1) 造出主基本矩陣，即右乘以它自身在初始處之值的逆，把它在那裡重新歸一化為 I。
對常係數系統而言，這個主基本矩陣恰好就是矩陣指數：Phi(t) = e^(At)。這就是抽象想法（歸一化的解基底）與具體對象（指數級數）之間的橋樑。對變係數系統 x' = A(t) x，並無 e^(At) 可言，但主基本矩陣依然存在；它才是正確的一般概念，而矩陣指數則是其常係數的特例。
取 x' = [2, 0; 0, 3] x。兩個解是 (e^(2t), 0) 與 (0, e^(3t))；並排成 X(t) = [e^(2t), 0; 0, e^(3t)]。此處 X(0) = I 已成立，故 X 本身就是主基本矩陣，由 x(0) = (4, 5) 出發的解就是 (4 e^(2t), 5 e^(3t))。若各列起初是雜亂的，你便右乘以 X(0)^(-1)，把它們在 t = 0 重設為 I。
把基本矩陣歸一化為起點處的 I，就把「解出常數」變成了「直接讀出答案」。
單位矩陣條件繫於所選的起始時刻：Phi(t0) = I 使 Phi 在 t0 處歸一化，而非在每個時刻；在其他時刻它一般並非單位矩陣。