基本矩陣（fundamental matrix）
一旦你手上有了幾個積木解，自然會想把它們並排歸檔成一個整潔的物件，而不是當作一堆鬆散的清單帶著走。把每個解向量豎起來當作矩陣的一行（一列），你就得到基本矩陣，一個關於 t 的矩陣值函數，一次裝下整個解集。
給定齊次方程組 x' = A(t) x 的一組基本解組 x_1(t)、…、x_n(t)，基本矩陣是 Psi(t) = [x_1(t) | x_2(t) | … | x_n(t)]，它的各行就是那些解。因為每一行都是解，這個矩陣本身也滿足升級成矩陣形式的同一條方程：Psi'(t) = A(t) Psi(t)。又因為各行獨立，Psi(t) 在每個 t 都可逆，它的行列式就是朗斯基行列式，不為零。回報是通解就只是 x(t) = Psi(t) c，其中 c 是係數構成的常數行向量；選定 c 就選出你指的是哪個解。對初始條件 x(t0) = x0，你解 Psi(t0) c = x0 求出 c，得到 x(t) = Psi(t) Psi(t0)^(-1) x0。
基本矩陣是線性方程組理論的主力物件。它把疊加性打包成矩陣乘法，把初值問題化成一次求逆再相乘，並且是通往矩陣指數的橋樑：對常係數方程組，在 t0 處正規化為單位矩陣的那個特定基本矩陣，恰好就是 e^(A t)。
對 x' = [1, 0; 0, -2] x，各行 (e^t, 0) 與 (0, e^(-2t)) 給出 Psi(t) = [e^t, 0; 0, e^(-2t)]。於是 x(t) = Psi(t) c 重現每一個解，而 x(0) = (3, 5) 迫使 c = (3, 5)，所以 x(t) = (3 e^t, 5 e^(-2t))。
各行是積木解；乘以常數向量 c，就把它們組裝成一個特定的運動。
基本矩陣並不唯一，任何一組基本解組都給出一個有效的 Psi，而任何 Psi 乘以一個常數可逆矩陣又是另一個有效的。那個正規化為 Psi(t0) = I 的特別矩陣稱為主基本矩陣。