指數增長與衰減

賺取複利的儲蓄帳戶、一群細菌、一塊放射性岩石，三者有何共通點？在每一種情形中，當下存在的量決定了它變化的快慢。錢多一倍就賺一倍的利息；細菌多一倍，每小時產生的後代也多一倍；放射性原子多一倍，衰變的速度也快一倍。這個單一概念——變化率與當前的量成正比——是所有微分方程中最根本的模型。

用符號寫成 dy/dt = ky，其中 y(t) 是該量，k 是比例常數。k 為正則該量增長，k 為負則衰減。其解為 y(t) = y0 e^(kt)，y0 是起始量：指數函數正是那個等於自身變化率（差一個因子 k）的函數。增長意味曲線愈來愈快地向上掃去；衰減則是先陡降而後趨平，逼近零卻永不真正抵達。

指數模型只在比例關係成立時才精確。真實族群不可能永遠指數增長——食物與空間終會耗盡——所以這個模型只在早期、擁擠尚未咬人之前是好的描述；邏輯斯諦方程修補了這點。但對放射性衰變而言，這條定律基本上完美無瑕，因為每個原子的衰變彼此獨立，沒有擁擠來干擾。