放射性衰變

一個不穩定的原子核遲早會射出一個粒子、變成別的東西——但你永遠說不準某個特定原子何時會這麼做。它是真正隨機的，像一枚會在無法預測的時刻自行翻動的硬幣。然而當你手上有上兆個這樣的原子，隨機性便平均出一條極其簡單而可靠的定律，而這條定律就是一個一階微分方程。

由於每個原子都獨立衰變、且每秒衰變的機率固定相同，短時間內衰變的數目便與當下尚存的數目成正比。設 N(t) 為尚未衰變的核數，則 dN/dt = -lambda N，其中 lambda（衰變常數）是任一核每單位時間衰變的機率。這是指數衰減，故 N(t) = N0 e^(-lambda t)：核的數目按指數下降，起初迅速，而後隨著剩下可衰變者愈來愈少而愈來愈慢。

這是少數本質上精確的模型之一——沒有擁擠、沒有資源上限、沒有回饋來破壞比例關係，因為原子之間完全互不理睬。正是這份可靠，使放射性衰變成為定年方法（碳定年、鈾鉛定年）與醫學示蹤劑的基礎。人們日常引用衰變率時，用的不是 lambda 本身，而是半衰期——樣本衰變掉一半所需的時間。