倍增時間

當某物呈指數增長——複利下的儲蓄、爆紅影片的觀看次數、年輕的族群——描述它速度最直觀的方式，不是抽象的增長率，而是一個生動的問題：多久會翻倍？那段時間就是倍增時間，它是衰減世界中半衰期的增長雙胞胎。

對指數增長 y(t) = y0 e^(kt)（k > 0），倍增時間 T_d 是 y 達到 2 y0 之時。令 e^(k T_d) = 2 並取對數，得 k · T_d = ln 2，故 T_d = (ln 2)/k ≈ 0.693/k。與半衰期一樣，它與起始量無關：翻倍所需的時間總是相同，無論是從 100 到 200，還是從一百萬到兩百萬。對百分比增長有個方便的心算捷徑「70 法則」（或 72）：以年計的倍增時間約為 70 除以百分比增長率，因為 ln 2 ≈ 0.70。

倍增時間讓指數增長變得可觸可感，是金融、人口學與流行病學的標準通貨——疫情早期，病例數的倍增時間就是頭條數字。它也讓指數增長令人警覺的威力變得具體：穩定的年增 7%，僅十年便翻倍、二十年翻四倍、一生之內超過百倍。讓它易於引用的那份恆定，正是讓不受控的指數增長如此爆炸性的原因。