一階建模與定性分析
邏輯斯諦方程
/ loh-JIS-tik /
指數增長說一個族群會永遠不斷倍增，但沒有真實族群是這樣的——細菌會耗盡養分、兔子會吃光青草、新產品會用盡新顧客。邏輯斯諦方程是最簡單而誠實的修正：增長起初呈指數，但隨著環境填滿而禮貌地放慢、停止。它的解描繪出著名的 S 形曲線。
訣竅是讓人均增長率隨著族群 P 升向某個最大可持續規模 K（承載力）而縮小。不寫 dP/dt = rP（純指數），而寫 dP/dt = rP(1 − P/K)。當 P 很小時，因子 (1 − P/K) 近乎 1，增長幾乎是指數的。當 P 攀向 K，該因子縮向 0，增長戛然而止。在 P = K 時右邊為零——族群停止變化。結果是一條曲線：先緩慢上升，再在中點 P = K/2 處以最快的增速陡峭穿過，而後在飽和於 K 時平滑地趨平。
邏輯斯諦方程是族群生物學、疫情傳播（疫情爆發的早期是邏輯斯諦式的）與技術採用的基石。它是自治且非線性的，但仍可分離，故有整潔的封閉形式解。它仍然是一種簡化——它假設單一固定的承載力，忽略時間延遲、年齡結構與隨機性——但它捕捉有界增長的核心故事，遠勝於指數模型。
池塘中 r = 0.5/年、承載力 K = 1000 的魚群遵循 dP/dt = 0.5 P(1 − P/1000)。從 P = 100 起，增長快速、近似指數，在 P = 500 附近增速最大，而後減緩並穩定在 1000 條魚。
dP/dt = rP(1 − P/K)：起初指數，最終飽和於承載力 K。
S 形曲線假設承載力固定、且增長即時反應；若有時間延遲，同樣的邏輯可產生過衝與振盪（離散邏輯斯諦映射甚至可能陷入混沌）。
又称
另见