收穫模型

假設一個族群按邏輯斯諦方式增長，但人們同時也在取走一部分——在池塘捕魚、撲殺畜群、砍伐森林。你能取走多少，又能讓明年還剩下族群？收穫模型在邏輯斯諦方程上加一個移除項，並帶著一個尖銳的警告：取得太多，族群就會崩潰，而且毫無溫和的預警。

從邏輯斯諦增長出發，減去被收穫的量。最簡單的情形是以固定速率 H 收穫：dP/dt = rP(1 − P/K) − H。增長曲線 rP(1 − P/K) 是關於 P 的開口向下的拋物線；減去 H 把整條曲線下移 H。只要 H 夠小，曲線仍與零交於兩點——一個較低的平衡點（不穩定）與一個較高的（穩定），高於較低點的族群會趨向較高點。但當你提高 H，這兩個平衡點便相向滑動。在臨界收穫率 H = rK/4 時它們相撞並消失：超過此率便完全沒有正平衡點，dP/dt 處處為負，無論起始多大，族群都被推向滅絕。

這是鞍結分岔（saddle-node bifurcation）生動的現實範例：一個參數（收穫率）跨過閾值，平衡點便消失。對漁業與野生動物管理的啟示嚴峻——最大可持續產量恰位於那刀刃之上，哪怕只略微越過，都不只是減少存量，而可能將其滅絕。更糟的是，崩潰可能突如其來，因為在閾值附近，穩定族群已經很低、吸引力又弱。