初識分岔

大多數時候，調整模型中的一個旋鈕，只會讓答案略微移動。但偶爾，在某個特殊設定下，系統的整個性格會翻轉——一個穩定狀態突然消失、或一分為二、或交換它的穩定性。這種由參數的平滑改變所觸發的定性跳變，就是分岔。它是系統如何展現突然臨界點的方式，而一階相線是與之初遇最乾淨的場所。

取一個含參數的自治方程 dy/dt = f(y, r)。對大多數 r 值，相線有一組固定的平衡點與固定的穩定性。當你滑動 r，平衡點隨之移動；通常不會有什麼戲劇性的事。但在某些臨界 r 值，平衡點的數目或穩定性會改變——平衡點可以誕生、可以相撞而湮滅、或可以交換穩定性。分岔正是這樣一個臨界的 r。最簡單的例子：dy/dt = r + y^2。當 r < 0 有兩個平衡點（一匯一源）；在 r = 0 它們併為一個半穩定點；當 r > 0 則完全沒有——它們消失了。系統僅僅因為把 r 升過零，就從有穩態變成沒有穩態。這就是鞍結分岔。

分岔是臨界點與驟變的數學——漁場在收穫越過閾值後崩潰、屈曲的樑、氣候系統翻轉狀態。把它們一次看清的標準方式是分岔圖，把 y 的平衡值對參數 r 作圖，穩定分支畫實線、不穩定分支畫虛線。一階分岔（鞍結、跨臨界、叉式）是構築更豐富動力系統那些戲劇性行為的基本字母表。