邏輯斯諦映射（logistic map）
/ low-JIS-tik map /
對明年的族群採用能想到最簡單的規則：今年族群的固定比例，外加一個在族群太擁擠時就啟動的剎車。套用一次，得到明年；再套用一次，得到後年；不斷迭代。這條單行的離散規則——不是微分方程而是它逐步推進的表親——就是邏輯斯諦映射，而令人驚訝的是，這個玩具竟生成了秩序崩塌為混沌的全部戲碼。
這個映射是 x_(n+1) = r x_n (1 - x_n)，其中 x_n 是介於 0 與 1 之間的族群比例，r 是成長參數，通常介於 0 與 4 之間。每一步你把當前值代入，得到下一個：r x_n 那部分是繁殖，(1 - x_n) 這個因子是擁擠剎車，當 x 趨近 1 時縮減成長。現在把 r 往上掃，觀察長期行為。當 r 小（不超過 3）時，迭代值安頓到單一個固定值——一個穩定族群。越過 r = 3 後那個不動點變得不穩定，數值開始在兩個之間交替——一個 2 週期（每隔一年榮枯）。越過約 3.449 後，2 週期分裂為 4 週期，再為 8，再為 16，分裂來得越來越快。越過大約 r = 3.5699 後，週期實際上變成無窮：序列永不重複，表現得混沌。
邏輯斯諦映射是與混沌的標準初次相遇，因為它極其基本——一個你能在計算機上迭代的二次式——卻包含了週期倍增串級、敏感依賴與一張分形的分岔圖。它深刻的驚奇，由費根鮑姆所揭示，是普適性：週期倍增加速的比率（一個接近 4.669 的常數）對邏輯斯諦映射、以及對整類截然不同、只有單一個駝峰的系統，都是一樣的。所以這條幼稚園般簡單的方程，揭示了一條秩序如何變成混沌的定量定律，而自然界在遠超模型本身的範圍內都遵循它。
從 x_0 = 0.5 迭代 x_(n+1) = 3.9 x_n (1 - x_n)：你得到 0.975、0.0951、0.3354、0.8687、0.4453、…——被界在 (0,1) 內卻毫無模式，永不安定也永不重複。改從 x_0 = 0.5001 開始，幾十步之內這兩條序列就看起來毫不相干，這正是一行公式中混沌的標誌。
在 r = 3.9 時，原本給出穩定族群的同一個二次式，現在產生有界卻不可預測、永不重複的數值。
邏輯斯諦映射是一個離散迭代，不是邏輯斯諦微分方程。連續的邏輯斯諦常微分方程 x' = r x (1 - x/K) 是溫馴的、永不混沌——它是一維的，所以只能單調地上升或下降。正是映射的離散性，才在單一變量中解鎖了振盪與混沌。