施瓦茨導數（Schwarzian derivative）
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大多數導數量度一個函數如何變化。施瓦茨導數量度更奇異的東西：一個映射偏離成為莫比烏斯變換——形如 (az + b)/(cz + d) 的分式線性映射——有多遠。它被造得恰好對那些映射視而不見，恰在它們上消失，這使它成為「高階彎曲」的自然標尺，以及一個出人意料地尖銳、用以判定何時全純函數單葉的工具。
精確地說，對 f' 不為零的函數 f，施瓦茨導數是 Sf = (f''/f')' - (1/2)(f''/f')^2，常寫作 {f, z} = f'''/f' - (3/2)(f''/f')^2。兩個關鍵事實：(1) Sf = 0 若且唯若 f 是莫比烏斯變換，所以施瓦茨導數確實量度對莫比烏斯的偏離。(2) 它滿足一個優雅的複合（餘循環）法則，且當你把 f 後複合一個莫比烏斯映射時不變——對莫比烏斯 M 有 S(M 複合 f) = Sf。那個不變性正是它為何出現在應把莫比烏斯自由度商去的問題中，例如單葉判別與二階線性常微分方程（施瓦茨導數聯繫到方程 u'' + (1/2)(Sf) u = 0）。
它在此的主角戲是 Nehari 的單葉判別：若 f 在單位圓盤上全純，且其施瓦茨導數不太大——確切地說對圓盤中所有 z 有 |Sf(z)| <= 2/(1 - |z|^2)^2——則 f 在圓盤上單葉。界 2 是尖銳的。所以對施瓦茨導數的單一個不等式就認證整體一對一，是一條繞過直接驗證單射性的非凡捷徑。一個警告：此判別是充分而非必要（一個單葉映射可能違反它），且常數很微妙——一個略為不同的常數（Nehari 也給了一個把 2/(1 - |z|^2)^2 換成 pi^2 型界的版本）是相關尖銳陳述所需要的。把常數對準你正引用的確切定理。
計算任意莫比烏斯映射的施瓦茨導數，譬如 f(z) = (z + 1)/(z + 2)：此處 f'' 與該組合恰好相消，得 Sf = 0——印證施瓦茨導數恰在分式線性映射上消失。對 f(z) = z^2，f''/f' = 1/z，故 Sf = -1/z^2 - (1/2)(1/z^2) = -3/(2 z^2)，不為零，正如非莫比烏斯映射所應有。
Sf = 0 恰對莫比烏斯映射成立；Nehari：|Sf| <= 2/(1 - |z|^2)^2 迫使單葉。
Nehari 的界對單葉是充分而非必要，且尖銳常數取決於你引用哪個版本。施瓦茨導數在莫比烏斯映射的後複合下不變，但在前複合下「並非」如此。