交比（cross-ratio）

莫比烏斯變換幾乎扭曲一切——長度、面積、哪一點是圓心，甚至一條曲線究竟是圓還是直線。於是一個自然而珍貴的問題是：有沒有任何由點構成的量，是莫比烏斯映射完全不動的？恰有一個如此的基本不變量，它由四個點構成。它稱為交比，是莫比烏斯幾何中守恆的通貨。

給定四個相異點 z_1, z_2, z_3, z_4，其交比是數 (z_1, z_2; z_3, z_4) = ((z_1 - z_3)(z_2 - z_4)) / ((z_1 - z_4)(z_2 - z_3))。（各教科書對排序的約定不同，因此務必確認你的來源用的是哪一種。）招牌定理是不變性：若 w = f(z) 是任一莫比烏斯變換且 w_k = f(z_k)，則四個像的交比等於四個原像的交比。映射可以把這四點撒遍整個球面，但這個由它們的差所組成的特定組合卻原封不動。原因在於交比正是被精心設計來抵消任何莫比烏斯映射所由構成的旋轉、縮放、平移與反演。

兩項回報使它居於核心。第一，四點共線或共圓，當且僅當其交比為實數——一個無需作圖的乾淨共圓代數判據。第二，不變性是「三點決定一個莫比烏斯映射」以及標準映射明確公式背後的引擎：要構造把 z_1, z_2, z_3 送往選定目標的映射，你令 (z, z_1; z_2, z_3) 的交比等於 (w, w_1; w_2, w_3) 的交比，再解出 w。交比是那匹主力公式；它的不變性正是這匹主力得以拉動的緣由。