舒尔补

给定块矩阵 M = [A, B; C, D]，其中 A 可逆，A 的舒尔补为 S = D - C A^-1 B。它是以 A 为主元消去块 C 之后，块 D 所剩下的部分。你可以把它读作：当第一个块的影响被折叠进来之后，第二个块的有效行为。

它是块线性代数中最有用的单一量，因为三个不同的问题都归结于它。可逆性：M 可逆当且仅当 A 与 S 都可逆。行列式：det(M) = det(A) det(S)。而 M^-1 的 (2,2) 块恰为 S^-1，故 S 支配着在第一个变量被解出之后第二个变量如何响应。

正定性也会传承。对称矩阵 M 正定，当且仅当 A 正定且其舒尔补 S 正定。这正是分块检验正定性背后的引擎，也是 Cholesky 与 LDL^T 分解背后的引擎——它们不过是反复的舒尔补步骤。

它在各领域都承载实际意义。在统计中，协方差块的舒尔补就是一组高斯变量在给定另一组时的条件协方差。在优化中它出现在 KKT 与鞍点系统里。又由于 S 的条件可能远比 M 差，它也是一个警示信号，提示着一个外表良性的矩阵内部潜藏的数值敏感性。