抽样与抽样分布

想象你把手伸进一个装满编号小球的大缸，抓出一把，写下它们的平均值。然后放回去，再抓一把，得到稍微不同的平均值。这样做上千次，这些平均值本身就会形成一种规律——大多数聚在缸内真实平均值附近，少数落得很远。这种“当你不断重新抽样时样本平均值的表现”的规律，就是抽样分布。它是衡量单个样本有多可信的最重要的一个观念。

抽样是从总体中抽取观测值的动作；随机抽样意味着每个个体被抽中的概率是已知的，因此样本是公平的，而不是被刻意挑选的。现在是关键的转折：任何由样本算出的统计量——样本均值、样本方差、拟合出的斜率——本身都是一个随机量，因为换一个样本就会给出新的值。它的概率分布就是抽样分布。对于来自均值为 m、标准差为 s 的总体的 n 个观测值的样本均值，其抽样分布中心仍是 m，但散布要小得多，为 s / sqrt(n)。所以对 100 个值求平均，得到的估计比单个值的抖动小十倍，因为 sqrt(100) = 10。

精算师很少在心里不悄悄追问“如果换一批数据，这个数字会跳动多少？”的情况下看待任何一个数字。这正是抽样分布在起作用。它是从点估计通向标准误差与置信区间的桥梁。中心极限定理是让这一切变得实用的礼物：当 n 很大时，几乎不论总体本身是什么形状，均值的抽样分布都近似正态——这正是众多精算置信陈述默默假定正态性的原因。